第 3 章・強度轉換與空間濾波

你將學到

一條曲線 $s = T(r)$ 如何讓影像變亮、變暗、反相或拉開對比，以及何時該選對數、gamma 或分段線性曲線。
直方圖等化（histogram equalization）為什麼有效（一步步推導），以及直方圖匹配、CLAHE 這類區域方法與區域統計量如何建立在它之上。
什麼是線性空間濾波、相關（correlation）與卷積（convolution）差在哪裡，以及可分離卷積核為什麼快。
平滑（低通）濾波器，包括非線性的中值濾波器，如何去除雜訊；以微分為基礎的（高通）濾波器如何銳化。
如何從低通卷積核推導出高通、帶通與帶拒卷積核，以及如何把多個方法串成一條處理流程。

先看全貌

這一章談的是：不離開像素格子，直接改善影像。本章所有方法都直接作用在像素值上，這就是「空間域」（spatial domain）的意思。方法分成兩大類。點運算（point operation）只用每個像素自己的值來改變它；鄰域運算（neighborhood operation，也就是空間濾波器）則參考周圍像素的值來改變它。

為什麼重要：這些是大家第一個會拿出來用的工具，手機相機、醫學影像檢視器、顯微鏡，以及電腦視覺模型的前處理都會用到。它們也是卷積層在概念上的祖先：CNN 的第一層就是一組空間濾波器，而許多學習式的影像增強網路，輸出的仍然是一條曲線或一個濾波器，這點會在「現代觀點」中看到。

背景

白話版。 我們把輸出影像寫成「對輸入影像套用某個運算」。如果這個運算一次只看一個像素，它就是一張查找表；如果它看一個小視窗，它就是濾波器。

精確版。 令 $I(x, y)$ 為輸入影像、 $G(x, y)$ 為輸出影像， $x, y$ 為整數像素座標（與卷積教學使用相同的符號）。空間域處理可寫成

G(x, y) = T\big[I\big](x, y),

其中 $T$ 是定義在 $(x, y)$ 鄰域（neighborhood）上的運算子。鄰域通常是以 $(x, y)$ 為中心的小正方形或長方形。把鄰域中心逐一移過每個像素，就能在每個位置套用這個運算子。

當鄰域只有一個像素（ $1 \times 1$ ）時， $T$ 只取決於該像素的值，這時稱為強度轉換（intensity transformation，也稱灰階轉換或點轉換），並以純量寫成：

s = T(r),

其中 $r$ 是某像素的輸入強度， $s$ 是同一像素的輸出強度，兩者都落在 $[0, L-1]$ ， $L$ 為強度階數（8 位元影像 $L = 256$ ）。因為 $r$ 只有 $L$ 種可能值，任何 $T$ 都能存成長度為 $L$ 的查找表（lookup table），這也是點運算極快的原因。

基本強度轉換函數

白話版。 畫一條曲線，橫軸是輸入亮度、縱軸是輸出亮度。曲線陡的地方，相近的灰階會被拉開，對比增加；曲線平的地方，灰階被擠在一起，對比下降。

斜率 $T'(r)$ 就是局部的對比增益：兩個相鄰像素間的小差異 $\Delta r$ ，轉換後大約變成 $T'(r)\,\Delta r$ 。下面每一條曲線，都是在決定要把這份增益花在哪裡。

三張輸出對輸入強度的曲線圖：反相、對數與反對數曲線；gamma 從 0.1 到 10 的冪次曲線族；以及對比拉伸、二值化與強度切片的分段線性曲線。 — 圖 3.1 — 常見的強度轉換曲線（強度正規化到 [0, 1]）。左：反相、對數與反對數。中：冪次（gamma）曲線。右：分段線性曲線。

影像反相

s = (L - 1) - r .

暗變亮、亮變暗。斜率處處為 $-1$ ，所以對比的大小不變，只是極性反轉。當大片暗區中有細小的亮細節時，反相很有幫助，因為人通常比較容易在淺色背景上判讀灰階細節。

對數轉換

s = c \log(1 + r),

其中 $c > 0$ 為縮放常數，通常取 $c = (L-1)/\log L$ ，讓最大輸入對應到 $L - 1$ 。加 1 是為了避開 $\log 0$ 。斜率 $c/(1 + r)$ 在 $r$ 小時大、在 $r$ 大時小，因此對數曲線會擴張暗部、壓縮亮部。

它的經典用途是顯示動態範圍極大的資料，例如傅立葉頻譜的強度，數值可以橫跨好幾個數量級。線性縮放時只看得到最亮的那一點；取對數之後，結構就浮現了（圖 3.2 下排）。反對數（指數）曲線的作用則恰好相反。

冪次（gamma）轉換

s = c\, r^{\gamma},

其中 $c > 0$ 、 $\gamma > 0$ 為常數（若 $r$ 已正規化到 $[0, 1]$ ，取 $c = 1$ ）。 $\gamma \lt 1$ 時曲線往上拱，像對數一樣提亮暗部； $\gamma > 1$ 時曲線往下彎，壓暗暗部。和對數不同的是，一個參數就能產生一整族曲線（圖 3.1 中）。

Gamma 的重要性不只在增強。顯示器與相機都有冪次型的響應，影像檔通常儲存的是經過 gamma 編碼的值，而不是與光量成正比的值。預先補償裝置響應的做法稱為 gamma 校正（gamma correction）。一個實務上的後果是：對 gamma 編碼過的像素做平均、模糊或縮放，和在線性光上做並不相同，所以嚴謹的流程會先線性化。

import numpy as np
from skimage import data, img_as_float

r = img_as_float(data.camera())        # 強度縮放到 [0, 1]
negative = 1.0 - r                     # s = (L-1) - r 的正規化版本
log_t = np.log1p(r) / np.log(2.0)      # s = c log(1 + r)，c 讓 s(1) = 1
bright = r ** 0.4                      # gamma < 1 提亮暗部
dark = r ** 2.5                        # gamma > 1 壓暗暗部

六張影像：攝影師測試影像、它的反相、gamma 0.4 的提亮版、gamma 2.5 的壓暗版、線性縮放後幾乎全黑的傅立葉強度，以及取對數後可見結構的同一頻譜。 — 圖 3.2 — 上排：輸入、反相、gamma 0.4。下排：gamma 2.5；線性縮放的傅立葉強度（幾乎全黑）；同一強度取 log(1 + ·) 之後。

分段線性轉換

不用單一公式，而是把幾段直線接起來。好處是控制精確，代價是參數較多。

對比拉伸（contrast stretching）。選兩個控制點 $(r_1, s_1)$ 與 $(r_2, s_2)$ ，用直線連接 $(0, 0) \to (r_1, s_1) \to (r_2, s_2) \to (L-1, L-1)$ 。中間那段的斜率是 $(s_2 - s_1)/(r_2 - r_1)$ 。只要 $r_1 \le r_2$ 且 $s_1 \le s_2$ ，曲線就是單調的，不會顛倒灰階的順序。有兩個特例值得記住：

$r_1 = r_{\min}$ 、 $s_1 = 0$ 、 $r_2 = r_{\max}$ 、 $s_2 = L-1$ ：把影像實際的範圍對應到完整範圍（最小–最大拉伸）。實務上改用第 1 與第 99 百分位數取代最小值與最大值，避免少數離群像素主導結果。
$r_1 = r_2 = m$ 、 $s_1 = 0$ 、 $s_2 = L - 1$ ：產生二值影像，也就是在 $m$ 處做門檻化（threshold）。

def stretch(img, r1, s1, r2, s2, L=256):
    lut = np.interp(np.arange(L), [0, r1, r2, L - 1], [0, s1, s2, L - 1])
    return lut.astype(np.uint8)[img]

img = data.camera()
lo, hi = np.percentile(img, [1, 99])
out = stretch(img, lo, 0, hi, 255)     # 穩健的最小–最大拉伸

強度切片（intensity-level slicing）。突顯某一段強度 $[A, B]$ 。做法有兩種：把這段設成高值、其他設成低值（得到二值結果）；或只提亮這段、其他保持不變。當感興趣的灰階範圍已知時（例如 X 光中的某種組織或材料），切片就很好用。

位元平面切片（bit-plane slicing）。8 位元像素值是各位元的加總： $r = \sum_{b=0}^{7} a_b\, 2^b$ ，其中 $a_b \in \{0, 1\}$ 。把每個像素的第 $b$ 個位元收集起來，就得到一張二值影像，稱為位元平面 $b$ 。平面 7 是最高有效位元（MSB），恰好等於在 128 處門檻化。低位元平面看起來像雜訊，因為它們承載的是細微變化。只保留最高四個平面重建出的影像，與原圖非常接近，最大誤差小於 $2^4 = 16$ 階（圖 3.3）。這說明了位元平面為何與壓縮有關，也說明最低幾個平面為何常被拿來藏浮水印。

img = data.camera()                                    # uint8
planes = [(img >> b) & 1 for b in range(8)]            # planes[7] 是 MSB
top4 = sum(planes[b].astype(np.uint8) << b for b in range(4, 8))
print(np.abs(img.astype(int) - top4).max())            # 15

3 乘 3 的格狀圖：攝影師影像的位元平面 7 到 0，從清楚的剪影逐漸變成像隨機雜訊的樣子，最後一格是只用平面 7 到 4 重建、與原圖幾乎相同的影像。 — 圖 3.3 — 8 位元影像的八個位元平面，從最高有效位元（左上）到最低有效位元，以及只用平面 7–4 重建的影像。

直方圖處理

白話版。 直方圖（histogram）統計每種亮度各有多少像素。暗影像的計數堆在左邊；灰濛濛的影像則擠在一條窄帶裡。直方圖處理就是根據這些計數自動選出曲線 $T$ ，讓輸出的直方圖變成我們想要的形狀。

精確版。 對一張 $M \times N$ 、灰階為 $r_k$ （ $k = 0, \dots, L-1$ ）的影像，令 $n_k$ 為值等於 $r_k$ 的像素數。正規化直方圖

p_r(r_k) = \frac{n_k}{MN}

估計了「隨機挑一個像素，其值為 $r_k$ 」的機率，總和為 1。

直方圖等化

目標是找一條曲線 $T$ ，讓輸出直方圖盡可能平坦，也就是每個灰階被使用的頻率大致相同。

推導（連續情形）。 把強度視為連續隨機變數 $r \in [0, L-1]$ ，其機率密度函數（PDF）為 $p_r(r)$ 。假設 $T$ 在此區間嚴格遞增。那麼像素落在小區間 $[r, r + dr]$ ，恰好等於輸出落在 $[s, s + ds]$ ，其中 $s = T(r)$ 。機率相等給出 $p_s(s)\,|ds| = p_r(r)\,|dr|$ ，因此

p_s(s) = p_r(r) \left| \frac{dr}{ds} \right| .

現在把 $T$ 選為 $r$ 的累積分布函數（CDF）乘上比例：

s = T(r) = (L-1) \int_0^{r} p_r(w)\, dw ,

其中 $w$ 是積分用的虛擬變數。由微積分基本定理， $ds/dr = (L-1)\, p_r(r)$ 。代入得

p_s(s) = p_r(r) \cdot \frac{1}{(L-1)\, p_r(r)} = \frac{1}{L-1}, \qquad 0 \le s \le L-1 .

不論輸入的 PDF 長什麼樣，輸出的 PDF 都是均勻分布。CDF 正是那條能把機率平均攤開的單調曲線：像素多的地方它陡（把像素拉開），像素少的地方它平。

離散版本。 把積分換成加總：

s_k = T(r_k) = (L-1) \sum_{j=0}^{k} p_r(r_j), \qquad k = 0, 1, \dots, L-1,

再把 $s_k$ 四捨五入到最近的整數。由於多個輸入灰階可能捨入到同一個輸出灰階，而一個灰階又無法拆開，離散結果只會近似平坦。輸出直方圖通常會出現高聳的尖峰，中間夾著空隙（圖 3.4 中）。真正能保證的是：輸出涵蓋完整範圍，且輸出的 CDF 接近一條直線。

def equalize(img, L=256):
    hist = np.bincount(img.ravel(), minlength=L)      # n_k
    cdf = np.cumsum(hist) / img.size                  # j <= k 的 p_r(r_j) 加總
    lut = np.round((L - 1) * cdf).astype(np.uint8)    # s_k
    return lut[img]

OpenCV 的 cv2.equalizeHist 使用稍微不同的正規化 $(\mathrm{cdf}_k - \mathrm{cdf}_{\min})/(MN - \mathrm{cdf}_{\min})$ ，讓最暗的有值灰階對應到 0，結果大約只差一階。

拖動滑桿，比較一張刻意壓低對比的影像與它的全域等化結果。注意等化並不是「免費的」：它會誇大大片平滑區域與顆粒感，因為它把對比花在像素數量多的地方，而不是有意義的細節所在之處。

輸入等化後

上排：低對比的月面影像、對比過強的全域等化結果、局部對比適中的 CLAHE 結果，以及幾乎是垂直階梯的等化曲線。下排：對應的直方圖與紅色的累積分布曲線。 — 圖 3.4 — 全域直方圖等化與 CLAHE 的比較。輸入只占據很窄的灰階範圍，所以等化曲線 T(r)（右）幾乎是階梯，輸出直方圖被拉開且出現空隙。CLAHE 限制斜率，並依區域調整。

直方圖匹配（規定化）

有時候平坦的直方圖並不是我們要的目標。我們可能希望影像看起來像某張參考影像，或希望直方圖是手動指定的形狀。直方圖匹配（histogram matching，也稱 histogram specification）把輸入對應成直方圖接近指定 PDF $p_z(z)$ 的影像。

技巧是用兩次等化。等化輸入得到均勻的 $s = T(r)$ ；對目標分布做等化，得到

G(z) = (L-1) \int_0^{z} p_z(t)\, dt ,

它同樣產生均勻變數。兩個均勻變數可以互相對應，因此令 $G(z) = T(r)$ 並解出：

z = G^{-1}\big(T(r)\big).

其中 $z$ 是輸出強度、 $G$ 是目標分布的縮放 CDF、 $t$ 是虛擬變數。離散情形下 $G$ 是階梯函數，未必可逆，所以對每個輸入灰階取滿足 $G(z) \ge T(r)$ 的最小 $z$ ，只要一個 searchsorted 就能完成：

def match(img, ref, L=256):
    cdf_in = np.cumsum(np.bincount(img.ravel(), minlength=L)) / img.size
    cdf_ref = np.cumsum(np.bincount(ref.ravel(), minlength=L)) / ref.size
    # 對每個輸入灰階，取滿足 G(z) >= T(r) 的最小 z
    lut = np.searchsorted(cdf_ref, cdf_in).clip(0, L - 1).astype(np.uint8)
    return lut[img]

skimage.exposure.match_histograms 實作了相同的概念，也支援彩色影像的逐通道匹配。

精確直方圖匹配

上面兩種方法都是查找表，所以輸入值相同的像素必然得到相同的輸出值。如果 30% 的像素共用同一個值，任何查找表都無法把它們拆開，輸出直方圖也就不可能完全平坦或完全符合目標。

精確直方圖規定化（exact histogram specification）先讓每個像素都能被區分，以消除這個限制 [5]。每個像素得到一組特徵向量：自己的值、小鄰域的平均、較大鄰域的平均，依此類推。依這組向量做字典序排序，實務上就能得到嚴格的順序，因為某個特徵相同時，會由下一個特徵來打破平手。接著依序指定輸出值：前 $h_0$ 個像素給灰階 0，接下來 $h_1$ 個給灰階 1，以此類推， $h_k$ 是目標直方圖要求的確切數量。結果的直方圖與要求完全一致。Coltuc、Bolon 與 Chassery 指出，用由小到大的區域平均來排序，打破平手的方式在視覺上很合理，因為周圍較亮的像素會被稍微往上推 [5]。

區域直方圖處理

全域方法對整張影像只用一條曲線。如果重要細節藏在暗角落、而那裡的像素又不多，全域直方圖幾乎不會注意到它。

區域直方圖等化對每個像素周圍的鄰域計算直方圖，由此算出轉換，只套用到中心像素，再移到下一個像素。自適應直方圖等化（adaptive histogram equalization, AHE）及其變體由 Pizer 等人做了系統性的研究，其中包括 AHE 在近乎均勻的區域會過度放大雜訊的問題：那裡的區域直方圖只是一根尖峰，CDF 變成近乎垂直的階梯 [2]。

對比受限自適應直方圖等化（contrast-limited AHE, CLAHE）透過限制對應曲線的斜率來解決這個問題。由於等化曲線的斜率與直方圖高度成正比，把每個區域直方圖在某個上限處截斷，再把截掉的計數重新分配到所有 bin，就能為對比增益設上限。為了加速，影像被切成小塊（tile），每塊算一條對應曲線，每個像素的輸出由最近四塊的對應結果做雙線性內插，避免出現明顯的接縫。Zuiderveld 在 Graphics Gems 的章節給出了被廣泛沿用的實作 [3]，Reza 則描述了即時的硬體實現 [4]。

import cv2
clahe = cv2.createCLAHE(clipLimit=2.0, tileGridSize=(8, 8))
out = clahe.apply(data.moon())         # 輸入 uint8，輸出 uint8

在 scikit-image 中，對應的是 skimage.exposure.equalize_adapthist(img, clip_limit=0.01)。

利用直方圖統計量增強影像

直方圖是一個分布，因此可以用動差（moment）來描述它。令 $p(r_k)$ 為正規化直方圖，平均與變異數為

m = \sum_{k=0}^{L-1} r_k\, p(r_k), \qquad \sigma^2 = \sum_{k=0}^{L-1} (r_k - m)^2\, p(r_k),

其中 $m$ 衡量平均亮度， $\sigma$ （標準差）衡量對比。若改在以 $(x, y)$ 為中心的鄰域 $S_{xy}$ 上計算，就得到區域平均 $m_{S_{xy}}$ 與區域標準差 $\sigma_{S_{xy}}$ 。

這給了我們一條簡單又有針對性的增強規則。假設只想增強偏暗、而且有一些但不太多對比的區域（同時跳過平坦背景與強烈邊緣）。令全域平均為 $m_G$ 、全域標準差為 $\sigma_G$ ，只有在下列條件成立時，才把像素乘上增益 $E > 1$ ，否則保持不變：

m_{S_{xy}} \le k_0\, m_G \quad \text{且} \quad k_1\, \sigma_G \le \sigma_{S_{xy}} \le k_2\, \sigma_G ,

其中 $k_0, k_1, k_2$ 是使用者選定的比例（例如 $0.5, 0.02, 0.5$ ）。區域統計量只需要兩次方框濾波，一次作用在 $I$ 、一次作用在 $I^2$ ，再利用 $\sigma^2 = \mathbb{E}[I^2] - (\mathbb{E}[I])^2$ ：

from scipy.ndimage import uniform_filter

f = img_as_float(data.moon())
m = uniform_filter(f, size=3)                                     # 區域平均
sd = np.sqrt(np.maximum(uniform_filter(f**2, size=3) - m**2, 0))  # 區域標準差
mG, sG = f.mean(), f.std()
mask = (m <= 0.5 * mG) & (sd >= 0.02 * sG) & (sd <= 0.5 * sG)
g = np.where(mask, np.clip(3.0 * f, 0, 1), f)                     # 增益 E = 3

同樣「用方框濾波器求區域平均與區域變異數」的模式，也出現在導引濾波器（guided filter）[8] 中，它是「現代觀點」會談到的保邊濾波器之一。

空間濾波的基礎

白話版。 空間濾波器把一小格權重（卷積核，kernel）滑過整張影像。在每個位置，把權重乘上底下的像素再加總，結果就是中心像素的新值。

卷積教學已經用從零寫起的 NumPy 迴圈、OpenCV 呼叫與邊界處理，把操作細節講清楚了。這裡專注於本章後面需要的理論。

線性空間濾波與相關

沿用該教學的符號，對大小為 $(2k+1) \times (2k+1)$ 的卷積核 $K$ ， $K$ 與 $I$ 的相關（correlation）為

(K \star I)(x, y) = \sum_{i=-k}^{k} \sum_{j=-k}^{k} K(i, j)\, I(x + i,\; y + j),

其中 $(i, j)$ 是相對於卷積核中心的位移， $k$ 是卷積核的半寬。奇數尺寸讓卷積核有明確的中心。這個濾波器是線性的，因為輸出是輸入值的線性組合：對 $aI_1 + bI_2$ 濾波，等於 $a$ 倍的 $I_1$ 結果加上 $b$ 倍的 $I_2$ 結果。它也是平移不變的，因為每個位置用的是同一組權重。

可分離卷積核

若卷積核可以寫成行向量 $\mathbf{c}$ 與列向量 $\mathbf{r}$ 的外積，就稱它是可分離的（separable）：

K = \mathbf{c}\, \mathbf{r}^{\top}.

於是 $K * I = \mathbf{c} * (\mathbf{r}^{\top} * I)$ ：先用 $\mathbf{r}$ 濾每一列，再用 $\mathbf{c}$ 濾每一行。對 $m \times n$ 的卷積核，每個像素的乘法次數從 $mn$ 降為 $m + n$ ，加速比為 $mn/(m+n)$ ， $7 \times 7$ 時是 $3.5$ 倍，且隨尺寸線性成長。矩陣恰好是外積若且唯若它的秩（rank）為 1，這也提供了一個檢驗方法：做奇異值分解，確認只有一個奇異值不為零。方框與高斯卷積核都可分離；Sobel 也可以，它是一個平滑向量乘上一個差分向量。

g1 = cv2.getGaussianKernel(7, 1.5)          # 7x1 行向量，總和為 1
K = g1 @ g1.T                               # 7x7 高斯卷積核
print(np.linalg.matrix_rank(K))             # 1  ->  可分離
f = img_as_float(data.camera()).astype(np.float32)
a = cv2.filter2D(f, -1, K.astype(np.float32))
b = cv2.sepFilter2D(f, -1, g1, g1)          # 兩次一維濾波
print(np.abs(a - b).max())                  # 約 1e-7

空間域與頻域

卷積定理指出，空間中的卷積等於頻率中的相乘：若 $\mathcal{F}$ 表示傅立葉轉換，則 $\mathcal{F}\{K * I\} = \mathcal{F}\{K\} \cdot \mathcal{F}\{I\}$ 。因此每個線性、平移不變的濾波器都有兩種等價描述：空間中的卷積核 $K$ ，以及說明每個頻率保留多少的轉移函數（transfer function） $H = \mathcal{F}\{K\}$ 。平滑卷積核的轉移函數在零頻率附近大、在高頻小，所以是低通（lowpass）；銳化卷積核相反，是高通（highpass）。第 4 章會正式發展這個觀點；目前只要記得這組詞彙：「低通」就是「平滑」，「高通」就是「邊緣與細節」。

小卷積核通常在空間域計算比較便宜；非常大的卷積核則常透過快速傅立葉轉換在頻域計算比較划算。

建構空間濾波卷積核

常見的做法有三種：

從數學性質出發。 取平均得到方框卷積核；取導數得到差分卷積核（拉普拉斯、Sobel）。
對連續函數取樣。 在整數格點上對二維高斯取樣，再把權重正規化成總和為 1。
從頻率規格出發。 在頻域設計 $H$ ，做反轉換得到空間卷積核，通常再截斷成可處理的大小。

所有做法都適用兩個檢查。平滑卷積核的權重總和應為 1，平坦區域才能保持亮度；導數卷積核的權重總和應為 0，平坦區域才會輸出 0。

平滑（低通）空間濾波器

白話版。 把每個像素換成鄰域的平均。隨機雜訊被拉向平均而淡去，但銳利的邊緣也會被抹開，因為平均跨過了邊緣兩側。

方框濾波器

$m \times n$ 方框卷積核（box kernel）的每個權重都是 $1/(mn)$ 。它是最簡單的低通濾波器，可分離，而且搭配累加和（running sum）時，每個像素的計算量與尺寸無關。它的弱點在頻率響應：方框的傅立葉轉換是類似 sinc 的函數，帶有旁瓣（side lobe），所以會讓部分高頻以反相的方式通過，而且它以正方形、與方向有關的方式抹開影像，細小文字與細線可能變成塊狀條紋。

高斯濾波器

高斯卷積核是對下式取樣：

w(s, t) = C\, e^{-\frac{s^2 + t^2}{2\sigma^2}},

其中 $(s, t)$ 是相對於卷積核中心的位移， $\sigma$ （標準差）決定模糊程度， $C$ 讓權重總和為 1。它有三個性質，讓它成為預設的平滑卷積核：

等向性（isotropy）。它只取決於距離 $\sqrt{s^2 + t^2}$ ，所以各方向模糊程度相同。
可分離性。 $e^{-(s^2+t^2)/2\sigma^2} = e^{-s^2/2\sigma^2}\, e^{-t^2/2\sigma^2}$ 。
平滑且非負的頻率響應。 它的傅立葉轉換也是高斯，沒有旁瓣。

一維高斯約 99.7% 的質量落在 $\pm 3\sigma$ 之內，所以約 $6\sigma$ 大小（向上取到最近的奇數）的卷積核就幾乎涵蓋全部。更大只是浪費計算，更小則會截掉尾巴。兩個標準差分別為 $\sigma_1$ 、 $\sigma_2$ 的高斯做卷積，得到 $\sigma = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}$ 的高斯，所以重複的小模糊可以預測地組合起來。

順序統計（非線性）濾波器

順序統計濾波器（order-statistic filter）把鄰域中的值排序後挑一個出來。它們是非線性的：沒有任何卷積核能表示它們，卷積定理也不適用。

中值濾波器（median filter）：輸出中間值（第 50 百分位數）。它是處理脈衝雜訊（impulse noise，又稱椒鹽雜訊 salt-and-pepper）的標準方法，也就是被強制變成全黑或全白的孤立像素。脈衝是極端值，排序後會跑到兩端，幾乎不可能是中值。只要視窗中被汙染的像素少於一半，中值就會忽略它們。在同樣大小下，它保留階梯邊緣的能力也遠勝線性平均。
最大值濾波器（第 100 百分位數）：找出最亮的點；能去除胡椒（暗）雜訊，但會讓亮點長大。
最小值濾波器（第 0 百分位數）：相反；能去除鹽（亮）雜訊，但會讓暗點長大。

最大值與最小值濾波器會在第 9 章以灰階膨脹與侵蝕的形式再次出現。

from scipy import ndimage as ndi

f = img_as_float(data.camera()).astype(np.float32)
noisy = f.copy()
u = np.random.default_rng(0).random(f.shape)
noisy[u < 0.05], noisy[u > 0.95] = 0.0, 1.0       # 10% 椒鹽雜訊

box = cv2.blur(noisy, (5, 5))
gauss = cv2.GaussianBlur(noisy, (0, 0), sigmaX=1.5)
med = cv2.medianBlur(noisy, 3)
mn, mx = ndi.minimum_filter(noisy, 3), ndi.maximum_filter(noisy, 3)

六張影像：布滿椒鹽雜訊的攝影師局部影像；模糊但仍有斑點的方框與高斯結果；乾淨且銳利的中值結果；黑色斑點變大的最小值濾波結果；以及白色斑點變大的最大值濾波結果。 — 圖 3.5 — 平滑 10% 椒鹽雜訊。線性濾波器（方框、高斯）把每個脈衝攤成灰色汙漬；3×3 中值濾波器幾乎完全去除雜訊；最小值與最大值各自去除一種極性，卻放大另一種。

銳化（高通）空間濾波器

白話版。 平滑是取平均；銳化則相反，要突顯差異。鄰居之間的差異就是導數，所以銳化是用導數做出來的。

一階與二階導數

對像素格點上的一維訊號 $f(x)$ ，最簡單的近似是

\frac{\partial f}{\partial x} = f(x+1) - f(x), \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f(x+1) + f(x-1) - 2f(x).

圖 3.6 把兩者套用在一條手工製作的剖面上，其中有一段斜坡、一條一個像素寬的細線和一個階梯。從圖中可以讀出選擇導數的規則：

在平坦區域，兩種導數都是 0。
沿著斜坡，一階導數一路都不為零，因此響應很粗；二階導數只在斜坡的起點與終點不為零。
在細線處，二階導數有強烈的雙重響應（正、強負、正），而且幅度比一階導數大。細小的細節正是銳化該強調的東西。
在階梯處，二階導數產生相鄰的一正一負值，兩者之間的零交越（zero crossing）可精確定位邊緣，第 10 章會把它用在邊緣偵測上。

所以要增強細節時，二階導數是比較自然的選擇。

三張共用 x 軸的上下排列圖：含斜坡、單點亮線與階梯的一維強度剖面；它的一階差分，在斜坡上小而固定、在細線與階梯處出現尖峰；以及它的二階差分，在斜坡內部為零、只在兩端不為零，並在細線與階梯處出現大的一正一負配對。 — 圖 3.6 — 合成剖面的一階與二階差分。二階導數忽略斜坡內部、對細線反應最強，並在階梯兩側改變正負號。

拉普拉斯運算子

最簡單的等向性二階導數運算子（影像旋轉時響應不變）是拉普拉斯運算子（Laplacian）：

\nabla^2 I = \frac{\partial^2 I}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 I}{\partial y^2}.

把上面的一維差分分別用在 $x$ 與 $y$ 方向並相加，得到

\nabla^2 I(x, y) = I(x+1, y) + I(x-1, y) + I(x, y+1) + I(x, y-1) - 4I(x, y),

也就是與下列卷積核做相關：

K_{\nabla^2} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}.

若再加入兩個對角方向，會得到外圈八格都是 $1$ 、中心為 $-8$ 的版本，它以 45° 而非 90° 為間隔具有等向性。把所有正負號翻轉，同樣是有效的卷積核。權重總和為 0，所以平坦區域會消失，只留下變化。

用拉普拉斯銳化。 拉普拉斯影像大多是灰色（零），在邊緣處有亮暗的鑲邊。把它加回原圖，就把這些鑲邊疊到邊緣上：

G(x, y) = I(x, y) + c\, \nabla^2 I(x, y),

其中中心為負的卷積核（如上面的 $K_{\nabla^2}$ ）取 $c = -1$ ，中心為正的卷積核取 $c = +1$ 。正負號很重要：選錯號，邊緣反而會被模糊。由於卷積具有分配律， $I - \nabla^2 I$ 本身就是單一卷積核：中心為 $5$ 、上下左右為 $-1$ ，正是下方實驗室中的 sharpen 預設。

卷積核實驗室修改任一格或選擇預設，輸出會即時更新。

輸入 I

輸出 G = K ⋆ I

試試 gaussian 與 box-blur 預設來平滑，再試 laplacian 看純粹的二階導數響應。把 sharpen 卷積核的中心從 5 改成 6，權重總和就變成 2，整張影像會變亮，這說明了總和為什麼重要。

反銳化遮罩與高增強濾波

這是來自傳統暗房的技巧：減去一份模糊的副本來分離出細節，再把細節加回去。

g_{\text{mask}}(x, y) = I(x, y) - \bar{I}(x, y), \qquad G(x, y) = I(x, y) + \alpha\, g_{\text{mask}}(x, y),

其中 $\bar{I}$ 是 $I$ 的模糊（低通）版本， $g_{\text{mask}}$ 是反銳化遮罩（unsharp mask，即被模糊去掉的細節）， $\alpha \ge 0$ 是權重。 $\alpha = 1$ 時稱為反銳化遮罩（unsharp masking）； $\alpha > 1$ 時稱為高增強濾波（highboost filtering）； $0 \lt \alpha \lt 1$ 時效果溫和。因為 $g_{\text{mask}}$ 是高通訊號，這是另一種加入高通細節的方式；若 $\bar{I}$ 是高斯模糊，模糊的 $\sigma$ 就決定了哪種大小的細節會被增強。

$\alpha$ 太大會產生明顯的光暈（halo）：強烈邊緣兩側出現過衝，輸出也可能超出有效範圍，所以要裁切（clip）。

梯度與 Sobel 運算子

一階導數是以梯度（gradient）的形式使用，也就是偏導數組成的向量

\nabla I = \begin{bmatrix} g_x \\ g_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \partial I / \partial x \\ \partial I / \partial y \end{bmatrix},

它指向強度增加最快的方向。它的長度，即梯度大小

M(x, y) = \sqrt{g_x^2 + g_y^2} \approx |g_x| + |g_y|,

在邊緣處大、在平坦區域接近 0。右邊的近似省去了開根號，但不具等向性。

Sobel 運算子用 $3 \times 3$ 卷積核估計 $g_x$ 與 $g_y$ ：

K_x = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad K_y = \begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}.

兩者都可分離： $K_x = [1, 2, 1]^\top [-1, 0, 1]$ ，即一個方向的中央差分乘上另一個方向的輕微平滑。中間的 $2$ 讓中央那一列或那一行的權重較大，降低運算子對雜訊的敏感度。（卷積教學就是用 $K_x$ 當作邊緣偵測的例子。）梯度大小很少直接拿來銳化，更常用來找出邊緣，或當作遮罩來決定哪裡允許銳化，就像下面的綜合範例。

f = img_as_float(data.chelsea()[..., 1]).astype(np.float32)
lap_k = np.array([[0, 1, 0], [1, -4, 1], [0, 1, 0]], np.float32)
lap = cv2.filter2D(f, -1, lap_k)
sharp = np.clip(f - lap, 0, 1)                 # 中心為負，所以 c = -1

blur = cv2.GaussianBlur(f, (0, 0), 2)
mask = f - blur                                # g_mask
unsharp = np.clip(f + 1.0 * mask, 0, 1)        # alpha = 1
highboost = np.clip(f + 3.0 * mask, 0, 1)      # alpha = 3

gx = cv2.Sobel(f, cv2.CV_32F, 1, 0, ksize=3)
gy = cv2.Sobel(f, cv2.CV_32F, 0, 1, ksize=3)
M = np.hypot(gx, gy)                           # 梯度大小

六張貓臉影像：稍微模糊的輸入；大多為灰色、顯示毛髮與鬍鬚紋理的拉普拉斯響應；拉普拉斯銳化結果；反銳化遮罩；鬍鬚清晰但略有光暈的高增強結果；以及眼睛與鬍鬚周圍有亮輪廓的 Sobel 梯度大小。 — 圖 3.7 — 銳化一張稍微模糊的影像。上排：輸入、拉普拉斯（灰色代表零）、I − ∇²I。下排：反銳化遮罩、高增強濾波、Sobel 梯度大小。

濾波時一律使用浮點數。uint8 的流程會把拉普拉斯或 Sobel 響應的負值裁成 0，悄悄丟掉一半的資訊。

由低通濾波器構成高通、帶拒與帶通濾波器

白話版。 如果你知道怎麼保留平滑的部分，你也就知道怎麼保留平滑部分以外的一切：相減就好。

令 $\delta$ 為單位脈衝卷積核：中心為 1、其餘為 0，因此 $\delta * I = I$ 。它的轉移函數在所有頻率都等於 1（全通濾波器）。若 $K_{\text{LP}}$ 是轉移函數為 $H_{\text{LP}}$ 的低通卷積核，則

K_{\text{HP}} = \delta - K_{\text{LP}} \quad\Longleftrightarrow\quad H_{\text{HP}} = 1 - H_{\text{LP}} .

反銳化遮罩正是如此： $g_{\text{mask}} = I - \bar{I} = (\delta - K_{\text{LP}}) * I$ 。

要隔離某一頻帶，就組合兩個低通濾波器。令 $K_1$ 為 $\sigma_1$ 較小的高斯（截止頻率高，保留較多細節）， $K_2$ 為 $\sigma_2$ 較大的高斯（截止頻率低）。則

K_{\text{BP}} = K_1 - K_2, \qquad K_{\text{BR}} = \delta - K_{\text{BP}} = K_2 + (\delta - K_1).

帶通（bandpass）卷積核 $K_{\text{BP}}$ 保留 $K_1$ 讓過、但 $K_2$ 擋下的頻率。帶拒（bandreject）卷積核 $K_{\text{BR}}$ 是一個低通加一個高通，只去除中間那段頻帶。帶通 $K_1 - K_2$ 就是高斯差（difference of Gaussians, DoG），它也是高斯拉普拉斯的良好近似，並且是第 12 章尺度空間偵測器的基礎。權重總和可以驗證設計：高通與帶通卷積核總和為 0，帶拒卷積核總和為 1。

def gauss_kernel(sigma):
    n = 2 * int(np.ceil(3 * sigma)) + 1          # 約 6 sigma，取奇數
    g = cv2.getGaussianKernel(n, sigma)
    return g @ g.T

def delta_like(K):
    D = np.zeros_like(K); D[K.shape[0] // 2, K.shape[1] // 2] = 1
    return D

lp2 = gauss_kernel(4.0)                          # 低截止頻率
lp1 = gauss_kernel(1.0)                          # 高截止頻率
lp1 = np.pad(lp1, (lp2.shape[0] - lp1.shape[0]) // 2)   # 補零到相同大小
hp = delta_like(lp1) - lp1                       # 高通，總和為 0
bp = lp1 - lp2                                   # 帶通（DoG），總和為 0
br = delta_like(bp) - bp                         # 帶拒，總和為 1

結合多種空間增強方法

白話版。 真實影像很少只有一個問題。有用的增強通常是一條短短的處理流程，而且步驟的順序很重要。

以下是一個實作範例。輸入（圖 3.8a）是一張曝光不足的人像，帶有少量高斯雜訊，以及 4% 的椒鹽脈衝。我們希望得到更亮、更清晰的影像，又不放大雜訊。

先用 3×3 中值濾波器去除脈衝（b）。脈衝是極端值，後續任何拉對比或銳化都會讓它們更糟，而線性模糊只會把它們攤開。中值濾波能去除它們又保留邊緣。
用 gamma 0.45 提亮暗部（c）。全域的亮度問題，正適合用點運算處理。在中值之後才做，曲線就不會被黑白脈衝干擾。
建立邊緣權重圖（d）。用高斯（ $\sigma = 2$ ）模糊影像，計算模糊後影像的 Sobel 梯度大小 $M$ ，再正規化成 $w = \min(M / M_{90}, 1)$ ，其中 $M_{90}$ 是 $M$ 的第 90 百分位數。因為是在平滑之後計算， $w$ 在真正的邊緣上接近 1，在平坦區域殘留的雜訊上接近 0。
套用由權重圖控制的反銳化遮罩（f）： $G = I_c + \alpha\, w \cdot (I_c - \bar{I}_c)$ ，其中 $I_c$ 是 gamma 校正後的影像、 $\bar{I}_c$ 是它的高斯模糊、 $\alpha = 2$ ，乘法逐像素進行。

(e) 是用相同 $\alpha$ 的一般反銳化遮罩：背景與深色衣領都變得粗糙，因為雜訊同樣是高頻細節。受控版本 (f) 對臉、頭髮與太空衣輪廓的銳化程度幾乎一樣，卻讓平滑的背景保持乾淨。這種「用平滑後的一階導數影像來決定哪裡要做二階銳化」的模式，可以看作「現代觀點」中保邊處理的手工版本。

太空人人像的六個面板：帶有黑白斑點的暗沉雜訊輸入；去除斑點的中值濾波結果；提亮後的 gamma 結果；輪廓明亮的黑白邊緣權重圖；背景粗糙的一般反銳化遮罩；以及輪廓銳利、背景平滑的邊緣控制反銳化遮罩。 — 圖 3.8 — 四步驟的增強流程：(a) 輸入、(b) 3×3 中值、(c) gamma 0.45、(d) 由平滑後 Sobel 大小得到的邊緣權重、(e) 供比較的一般反銳化遮罩、(f) 由 (d) 控制的反銳化遮罩。

每一步都用到本章的一個概念。步驟順序遵循三條經驗法則：在任何會放大差異的步驟之前先去除離群值；用點運算修正整體色調；只在訊號強於雜訊的地方銳化。

現代觀點

本章的技術已有數十年歷史，卻至今隨處可見：CLAHE 是醫學影像與遙測的標準前處理步驟，gamma 與色調曲線存在於每一條相機處理流程，高斯、中值與 Sobel 濾波器則存在於每一套視覺函式庫。後來的研究朝三個方向推進：更聰明的對比增強、能平滑卻不模糊邊緣的濾波器，以及兩者的學習式替代方案。下面的綜述是很好的入門點。

對比增強與直方圖方法。 Pizer 等人 [2] 至今仍是自適應直方圖等化的代表性分析：說明區域對應如何運作、AHE 為何在均勻區域過度增強雜訊，以及讓這個方法變得實用的各種變體（包括對比限制與在小塊對應之間做內插）。Zuiderveld 的章節 [3] 是後來各函式庫沿用的精簡 CLAHE 實作，Reza [4] 則展示了同一演算法如何對應到即時硬體。在直方圖規定化方面，Coltuc、Bolon 與 Chassery [5] 說明如何用區域平均嚴格排序像素，以得到完全符合目標的直方圖。若想要更全面的領域地圖，Qi 等人 [11] 綜述了過去二十年的影像增強方法，將其分為監督式與非監督式演算法，並把品質評估列為第三個面向；它的價值在於並排討論各類方法的限制、優點與缺點。

保邊濾波器。 方框與高斯濾波器的弱點是會跨越邊緣取平均。Tomasi 與 Manduchi 的雙邊濾波器（bilateral filter）[6] 在空間高斯權重之外，再乘上一個隨強度差異遞減的權重，讓邊緣另一側的像素幾乎沒有貢獻。Paris、Kornprobst、Tumblin 與 Durand 的綜述 [7] 解釋了它的行為、快速實作，以及色調映射、細節增強等應用，在這些應用中影像會被拆成平滑的基底層與細節層。He、Sun 與 Tang 的導引濾波器（guided filter）[8] 假設輸出是導引影像的區域線性函數；它只需要以方框濾波器計算區域平均與變異數，所以計算量與半徑無關，而且在強烈邊緣附近的表現比雙邊濾波器好，後者在細節增強時可能產生梯度反轉（gradient reversal）的瑕疵。Milanfar 的教學文章 [9] 把雙邊、非局部平均（non-local means）等濾波器統一看作資料自適應的加權平均，即卷積核權重取決於影像本身，並用線性代數工具加以分析。Gingichashvili 與 Lischinski [10] 指出眾多保邊濾波器過去大多只靠肉眼比較，並提出系統化的評估方法與共同基準。

深度學習改變了什麼。 最有意思的發現是，本章有多少內容在學習式系統內部存活下來。許多成功的增強網路並不直接輸出像素，而是預測某個傳統運算子的參數，再套用它。

學習曲線。 Zero-DCE [13]（2020）預測逐像素的高階曲線（反覆套用形如 $s = r + a\, r(1 - r)$ 的簡單二次式， $a$ 逐像素預測）來提亮低光影像。它的訓練完全不需要參考影像，而是使用直接評分增強結果的非參考損失函數。這就是 gamma 與對比拉伸的概念，只是曲線由一個小型 CNN 逐像素決定。
學習查找表。 Zeng 等人 [14]（2020）學習幾張基底 3D 色彩查找表，再用一個極小的 CNN 預測每張影像該如何混合它們，能在高解析度照片上即時執行。這是強度轉換的查找表觀點，從灰階延伸到色彩。
學習式保邊濾波器。 Gharbi 等人的 HDRNet [15] 在低解析度的雙邊網格（bilateral grid）中預測區域仿射色彩轉換，再以輸入影像為導引在全解析度套用，等於把雙邊濾波器的保邊能力變成可學習的層。Wu 等人 [16] 則把導引濾波器做成可微分的層，可以在網路中端對端訓練。
低光增強。 Li 等人的綜述 [12] 依學習策略、網路結構、損失函數與訓練資料，回顧了深度學習的低光影像與影片增強，並提出一個以多款手機在各種照明下拍攝的低光資料集，以及一個比較方法的線上平台。後續模型如 Retinexformer [17]（2023）則結合 Retinex 模型（把影像視為照明乘以反射率）與由照明估計導引的 Transformer 注意力機制。

沒有改變的部分：中值濾波器仍是脈衝雜訊的首選，Sobel 卷積核仍出現在損失函數與邊緣圖中，CLAHE 仍是預設的前處理步驟，而 gamma 處理仍是混用線性與編碼像素值的學習式流程中常見的錯誤來源。深度模型也往往繼承了傳統方法的失敗模式：光暈、暗部雜訊放大與過度增強，仍是審查者會特別檢查的瑕疵。

重點整理

強度轉換 $s = T(r)$ 就是一張查找表，斜率就是局部對比增益。對數與 $\gamma \lt 1$ 的曲線擴張暗部， $\gamma > 1$ 擴張亮部，分段線性曲線則提供精確控制。
直方圖等化以縮放後的 CDF 作為 $T$ ，在連續情形下讓輸出 PDF 成為均勻分布，在離散情形下則近似平坦。匹配是把一次等化接上另一次等化的反函數；精確匹配則先用區域平均打破平手。
區域方法（AHE、CLAHE、區域平均與變異數規則）會依區域調整；CLAHE 藉由截斷每個區域直方圖來限制對比增益。
線性空間濾波就是與卷積核做相關；卷積會翻轉卷積核，並具有漂亮的代數性質。可分離卷積核每個像素只需 $m + n$ 次運算，而非 $mn$ 次。
低通濾波器（方框、高斯）以平均去除雜訊，但會模糊邊緣；非線性的中值濾波器是對付脈衝雜訊的工具。
銳化就是加入高通細節：拉普拉斯（二階導數）、反銳化遮罩與高增強；梯度與 Sobel 運算子則用來衡量邊緣強度。
高通、帶通與帶拒卷積核都能由低通卷積核從脈衝 $\delta$ 相減得到；好的處理流程會安排步驟順序，不讓後面的步驟放大前面本該去除的東西。

練習

替霧濛濛的照片設計曲線。 一張 8 位元影像的像素值全落在 90 到 160 之間。寫出把這個範圍對應到 $[0, 255]$ 的分段線性轉換、它的斜率，並說明值為 120 與 122 的兩個相鄰像素會怎樣。

提示

$90 \le r \le 160$ 時 $T(r) = 255\,(r - 90)/70$ ，範圍外則裁切到 $[0, 255]$ 。斜率為 $255/70 \approx 3.64$ ，所以相差 2 會變成約 7.3 個灰階。四捨五入後 $T(120) = 109$ 、 $T(122) = 117$ 。

手算等化。 一張 3 位元（ $L = 8$ ）、共 16 個像素的小影像，灰階 $0$ 到 $7$ 的計數為 $n = [0, 8, 4, 2, 2, 0, 0, 0]$ 。計算等化查找表與輸出直方圖。為什麼輸出不是平坦的？

提示

CDF 為 $[0, 0.5, 0.75, 0.875, 1, 1, 1, 1]$ ，所以 $s_k = \mathrm{round}(7 \cdot \mathrm{CDF})$ 得到 $[0, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 7]$ （ $3.5$ 捨入為 4）。輸出直方圖為：灰階 4 有 8 個像素、5 有 4 個、6 有 2 個、7 有 2 個。灰階 1 的 8 個像素共用同一個輸入值，查找表無法拆開它們，只有精確直方圖規定化才能做到。

順序重要嗎？ 先套用 gamma 曲線再做方框（平均）濾波，和先做方框濾波再套用 gamma 曲線，結果一樣嗎？請證明，或用 2 個像素的平均舉出反例。

提示

不一樣。取兩個像素 0 與 1、 $\gamma = 2$ 。先 gamma： $(0 + 1)/2 = 0.5$ ；先平均： $0.5^2 = 0.25$ 。非線性的點運算與線性濾波器不能交換順序。這也是為什麼模糊 gamma 編碼的影像，不等於模糊線性光。

可不可以分離？ 判斷下列卷積核是否可分離，若可以，寫出兩個向量：(a) 中心為 $-4$ 的 $3 \times 3$ 拉普拉斯；(b) 全部為 1 的 $3 \times 3$ 卷積核；(c) $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ 。

提示

(a) 不行：它的秩為 2（但它是兩個可分離卷積核的和，每個軸各一個）。(b) 可以： $[1,1,1]^\top[1,1,1]$ 。(c) 可以： $[1,2,1]^\top[1,2,1]$ ，是高斯的小型二項式近似。可用 np.linalg.matrix_rank 驗證。

邊緣上的中值與平均。 一維訊號 $[10, 10, 10, 10, 50, 50, 50, 50]$ 是完美的階梯。分別做 3 點平均與 3 點中值（忽略兩端樣本）。接著把位置 1（從 0 起算）的樣本換成值為 255 的脈衝，再做一次。你得到什麼結論？

提示

在乾淨的階梯上，平均得到一段斜坡（ $\dots, 10, 23.3, 36.7, 50, \dots$ ），中值則完整保留階梯。加入脈衝後，平均在位置 1 與 2 產生兩個約 92 的升高值；中值在這兩處輸出 10，完全去除脈衝。

設計帶通卷積核。 用 $\sigma_1 = 1$ 與 $\sigma_2 = 3$ 的高斯，在 NumPy 中建立帶通與帶拒卷積核。驗證兩者的權重總和，用它們濾波 skimage.data.brick()，並描述各自保留了哪些結構。

提示

先把兩個卷積核補成相同大小（較小者補零），再計算 $K_1 - K_2$ 與 $\delta - (K_1 - K_2)$ 。總和應約為 0 與 1。帶通輸出保留灰縫線條與磚塊尺度的紋理，去除整體明暗與最細的顆粒；帶拒輸出保留明暗與細顆粒，但減弱了磚塊圖樣。

參考文獻

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